Může přírodovědec přemýšlet o nekonečnu?

Autor: Evžen Kindler - Číslo: 2008/1 (Články)

O dogmatech se zdůrazňuje, že neříkají nic převratně nového, nýbrž že jen shrnují to, co bylo v katolické církvi odedávna pokládáno za pravdu, a že bývají formulována tehdy, když se o takové pravdě pochybuje. Něco podobného může nastávat i v případě pravd mnohem méně důležitých a také i přesahujících z oblasti víry do profánní oblasti. V takových případech se ovšem neformulují dogmata, ale důkladně se probere záležitost, o které se začalo pochybovat. Kdo žije kdesi mimo oblast pochybování, tomu se může zdát formulace dogmatu stejně jako probírání a dokazování „evidentní“ pravdy zbytečné.

Jedna z takových situací může souviset s otázkou, která je zhruba formulována v nadpise tohoto příspěvku. Když se zeptáte fyzika, zda je schopen přemýšlet o nekonečnu, s největší pravděpodobností vám odpoví ve smyslu „Proč ne?“ a bude se divit, že se vůbec ptáte, neboť si vzpomene nejen na nekonečný prostor, který vystupuje v lekcích z fyziky už dokonce od střední školy, ale i na zkoušky z matematiky, které musel během svého vysokoškolského studia úspěšně složit a v nichž se setkával s limitními nekonečnými procesy, směřujícími jak nade všecky meze, tak např. postupným dělením k nule. A stejně, byť snad opatrněji, budou odpovídat astronomové, chemici, biologové, klimatologové, ekologové, geologové a další — zkoušky z matematiky totiž postupně pronikají do studia příslušných oborů, a na druhé straně tyto obory vědí, jak mnoho společného mají s fyzikou.

Článek [1] mohl takové názory zpochybnit, když představil Boha přírodovědců jako „imanentního“. V soukromých diskusích o něm, byť vesměs s ním nesouhlasných, mi někteří kolegové naznačili, zda přece jen není pojem nekonečna něco, co přešlo do přírodních věd odjinud, snad dokonce od těch dnes často zatracovaných „středověkých scholastiků“, zda to není něco, co nutí přírodovědce, aby se zřekli svého přírodovědeckého realismu, ba aby „zradili své poctivé přírodovědecké řemeslo“ a nechali se spoutat tím, co je např. v [2] nazváno „těsným myšlenkovým schématem, které od dob Aristotelových přes scholastiku až dodnes používáme“.

Cílem tohoto příspěvku je ukázat, že vztah přírodovědce k pojmu nekonečna vycházel a vychází z potřeb zkoumání přírody, že bez tohoto pojmu by se rozvoj novověkých přírodních věd už dávno zastavil, a že tedy nejde o kapitulaci před nějakým „scholastickým“ (nebo jiným) útokem na solidní myšlení věd o přírodě.

Precizace nadpisu

V dnešní době má být nadpis stručný a výstižný. Jestliže jsme zvolili znění, zda může přírodovědec přemýšlet o nekonečnu, musíme precizovat, co myslíme pod slovem přírodovědec. Jak už jsme výše naznačili, zahrnujeme pod ním pracovníky ve fyzice, astronomii, chemii, biologii, klimatologii, ekologii, geologii, ale i v dalších oblastech, ale nic nám nebrání, abychom sem zahrnuli i obory aplikující, tedy ty inženýrské, které mají vztah k přírodě (např. strojírenství, elektroniku, ale ne např. finančnictví). Jelikož se už několik set let fyzika neobejde bez matematiky a naopak vytváří pro matematiku řadu podnětů, a jelikož matematika proniká zvláště v posledních desetiletích i do všech ostatních věd o přírodě, a to tak, že bez ní často nejsou schopny ani přesně formulovat některé své zákony, musíme — speciálně v tomto příspěvku — mezi ony přírodovědce zahrnout i matematiky, přestože mnoho metodologů vědy může vyžadovat, aby se o matematice uvažovalo jako o vědě naprosto abstraktní, a tedy na přírodních vědách nezávislé. K tomu, abychom překlenuli jejich případné námitky, stačí, abychom si uvědomili, jak takzvaná „vyšší“ matematika vznikla, totiž jako nástroj fyziky.

Nekonečno v myšlení přírodovědců

To, co se zvláště dříve nazývalo vyšší matematikou, vzniklo a stalo se duševním vlastnictvím naší civilizace zásluhou I. Newtona; ten ji prezentoval v souvislosti s formulováním vztahů mezi pohybem tělesa a silou, která na ně působí, tedy v souvislosti s fyzikou. A od té doby, i když se matematika vyvíjela občas nezávisle na přírodních vědách, byla s nimi stále více svazována svými aplikacemi. Později se stala důležitým nástrojem chemie (i čtenář, který se chemii nevěnuje, se snad pamatuje na stechiometrické výpočty, které musel v hodinách chemie zvládat), přes ní pronikla (nejprve přes pravděpodobnostní myšlenkový aparát) do biologie a medicíny a postupně pak i např. do ekologie. Že se bez ní neobešli a neobejdou astronomové a další přírodovědecké profese, to snad ani nemusíme zdůrazňovat.

V kontextu přírodních věd patří do matematiky i pojem nekonečna. Už Newton, jak jsme se zmínili, jeho vztah k přírodě nejen tušil, ale přímo s ním počítal. Předpokládal, že příroda existuje v nekonečném třírozměrném prostoru, který nebyl omezen nějakými nebeskými sférami, a z jeho uvažování o tom, jak Bůh zasahuje do Sluneční soustavy tak, aby se nezhroutila, je zřejmé, že bral v úvahu i čas jako nekonečný. A v diferenciálním a integrálním počtu předpokládal i „opačný“ druh nekonečna, objekty „nekonečně malé“, kterých se vejde do konečných mezí nekonečně mnoho a které lze konstruovat jako limitní případ např. nekonečným postupným dělením objektů, které nekonečně malé nejsou. Pozdější vývoj fyziky, astronomie a aplikované matematiky pojem nekonečného času přímo vnutil do myšlení přírodovědců — Laplace svou teorií perturbací představil model Sluneční soustavy, která by mohla existovat nekonečně dlouho bez Božích zásahů předpokládaných Newtonem. Kant, když si nevěděl rady (jako skoro všichni intelektuálové jeho doby) s pojmy času a prostoru, je dokonce prohlásil za formy lidského nazírání — řečeno poněkud vulgárně, dal přírodovědcům najevo, že se nekonečnému prostoru a času ubrání jedině tehdy, když se ubrání jakékoliv myšlence na čas a prostor.

Precizace pojmu nekonečna

Všechny úvahy o nekonečnu se až do 19. století opíraly o doslovný význam příslušného termínu (ne-konečno, in-finitus). Z dnešního pohledu (k němuž se ještě vrátíme) byl pojem nekonečna interpretován jako cosi limitního, dynamického, myšleného v nějakém fiktivním nekončícím procesu. Například nekonečný směr v prostoru byl chápán jako cosi, co mohlo začít třeba zde, pokračovat daným směrem dále o metr, o dva, o tři a tak stále dále, bez konce, „ne-konečně“. Sám Kantův názor (byť se později ukázal jako mylný) svědčí o tom, jak důvěrně blízký byl tento pojem nekonečna přírodovědcům, přestože nebyl dokonale definován: ono „a tak dále, bez konce“ bylo chápáno intuitivně. Matematici i přírodovědci ho přijali jako integrální složku svého přemýšlení, vůbec se neobávali, že by to mohl být nějaký „rušivý vliv středověké scholastiky“.

Až koncem 19. století, a to v souvislosti s teorií množin, se naše civilizace dočkala definice pojmu nekonečna, konkrétně definice nekonečné množiny, tj. množiny, která obsahuje nekonečně mnoho prvků. Prosím matematiky o prominutí, že celou věc poněkud zpopularizuji tak, aby jí porozumělo co nejvíce čtenářů.

Když řekneme, že dvě skupiny mají stejný počet prvků, myslíme tím to, že prvky obou skupin lze vzájemně spárovat tak, že prvek ani jedné skupiny nezůstane při tom osamocen. Např. prvky skupiny tří stolů a skupiny tří jablek lze takto spárovat tak, že ke každému stolu přiřadíme jedno jablko, zatímco prvky skupiny pěti stolů a skupiny tří jablek takto spárovat nelze, neboť vždy dva stoly zůstanou osamoceny. A víme, že když z takové skupiny uberu byť jen jeden prvek, dostanu skupinu „menší“, totiž takovou, že její prvky nikdy nebudu moci spárovat se všemi prvky původní skupiny. Matematici používají místo slova skupina termín množina. A uvažujme nyní o nekonečné skupině (množině) přirozených čísel, tedy čísel 1, 2, 3 atd., uberme z ní celých 50 procent, totiž všechna lichá čísla, a zbytek, tedy množinu všech sudých čísel, spárujme s původní — zdánlivě „dvakrát větší“ — množinou všech přirozených čísel; to lze snadno udělat tak, že ke každému sudému číslu přiřadíme jeho polovinu. Prvky obou množin lze tedy beze zbytku spárovat, jsou tedy stejně veliké, přestože jedna vznikla redukcí druhé o celou polovinu.

Tento překvapující „paradox“ se stal definicí nekonečné množiny — množina je nekonečná, když její polovina je stejně veliká (ve smyslu možnosti spárování) jako ona sama. Tato definice, jejímž původcem je Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 — 1918), nám umožňuje pomocí exaktních a přitom konečných kroků (dokonce tak konečných, že k nim nepotřebujeme ani např. databáze) studovat pojem nekonečna, ba docházet i k dalším překvapujícím poznatkům, z nichž jeden je ten, že jistými exaktními operacemi lze na základě jedné nekonečné množiny definovat jinou, která je opravdu „větší“, opět v tom smyslu, že každá snaha o spárování jejích prvků s prvky původní množiny zanechá některé prvky nové množiny osamocené.

Charakteristické je, že všechny úvahy o takových nekonečných množinách lze provádět logickými technikami stejného charakteru, jako je třeba odvození Pythagorovy věty v matematice nebo eliptického tvaru oběžných drah těles ve fyzice. Nepotřebujeme k tomu žádné přemýšlení o aristotelovské klasifikaci příčin nebo o tom, co je bytí či poznatelnost. Jde o „matematické řemeslo“, kterému se může naučit jakýkoliv přírodovědec, pokud je potřebuje, a to v zásadě stejným způsobem, jako se může naučit odvození výše zmíněné Pythagorovy věty nebo Keplerových zákonů o pohybech planet.

Pochybnosti o nekonečnu ve hmotné realitě

Přibližně během posledního sta let se stále více vnucuje myšlenka konečnosti prostoru a času, a to jako negace nejen nekonečně velkého, ale i nekonečně malého (hypotézy o granulovaném prostoročasu). Někoho může napadnout, zda má přírodovědec vůbec právo v rámci své profese o nekonečných množinách a vůbec o nekonečnu přemýšlet. Když uvažuje o nekonečnu, nemusí se přírodovědec obávat strašidla „středověké metafyziky“ v době, kdy se ukazuje, že nic nekonečného nemusí v přírodě existovat?

Na tuto otázku lze odpovědět záporně, a to dvěma odlišnými způsoby, které se vzájemně podporují. Předně se ukazuje, že i když se dnes bere jako fakt, že v přírodě nic nekonečného není, stejně se bez matematiky „počítající s nekonečnem“ téměř žádná přírodní věda neobejde, ať jde třeba o elektron nebo o metagalaxii, přes elektron ke genům a přes geny k ekologickým systémům. Na jedné univerzitě došlo k humorné příhodě, když si skupina matematiků zaměřených na „matematiku konečna“ pozvala odborníky z fyziky částic: matematici doufali, že dostanou nějakou konečnou charakteristiku elektronu, avšak fyzici jim nenabídli nic jednoduššího než trojnásobný integrál ve spojitém prostoru, tedy něco typického pro „nekonečnou matematiku“.

A za druhé, mají-li přírodovědci (zejména fyzici a astronomové) formulovat jako nový — vlastně pro mnohé převratný — poznatek, že vesmír je konečný, pak — právě pro formulaci té odlišnosti od toho nekonečného — musí být schopni vyjádřit i to, co chtějí negovat, tedy tu nekonečnost.

Ano, přírodovědec se nezpronevěřuje své vědě, když přemýšlí o nekonečnu a o nekonečných existencích, včetně nekonečného Boha.

Doplňující poznámky

Znalec historie matematiky a přírodních věd by dokázal vyjmenovat a upřesnit mnoho případů, kdy se ve vědomí přírodovědce vyskytla myšlenka o nekonečnu dávno před Newtonem (jmenujme namátkou Euklida, Pascala a Galileiho, výstižný a úplný přehled lze nalézt v naší literatuře v [3]). Cílem tohoto příspěvku nebyla historická analýza, nýbrž jen demonstrace faktu, že idea nekonečna byla a je definitivně integrována do myšlení moderních přírodovědců. Proto jsme se záměrně omezili na dobu počínající Newtonem, tedy zhruba od 18. století, a to jako na dobu, která dnes bývá často prezentována jako epocha, v níž už byl středověký způsob myšlení a pohledu na svět nahrazen pohledem novým, vycházejícím z poznání přírody, tedy — jak se někdy říká — vědeckým. Staršími časy jsme se záměrně nezabývali, a to z prostého důvodu, že čím starší je autor, tím více vzbuzuje podezření, že mohl být ovlivněn tou „středověkou či dokonce starověkou metafyzikou“.

Historik filosofie ovšem může kontrovat, totiž argumentovat, že kus té „středověké metafyziky“ je skryt v každém přemýšlení o nekonečnu, a může tento názor podpořit i tím, že mnoho novověkých přírodovědců (včetně matematiků) zažilo více nebo méně dokonalé vzdělání i ve filosofii, a tak mohli být tou „středověkou metafyzikou“ ovlivňováni — ne-li přímo vedeni — i při myšlení v rámci svého „přírodovědeckého řemesla“ (pro naši oblast je to zvlášť markantní na příkladu Bernarda Bolzana, ale nejen jeho — viz [4]).

K té středověké metafyzice se ještě vrátíme v následující části, nyní jen konstatujme, že ač se dnes houfně zdůrazňuje, jak se novověká přírodověda vzdálila od středověkého pojetí přírody, přesto platí, že myšlení přírodovědců není blokováno proti konceptu nekonečna, a že tedy není nutné, aby přírodovědcovy myšlenky o Bohu z něho odbouraly to nekonečné, duchovní a absolutní. A pokud bychom chtěli z myšlení přírodovědců odstranit vše, co by mohlo připomínat „ideologickou diverzi středověké scholastiky“, museli bychom jim zakázat myslet úplně beze zbytku.

Psychologicky hloubající přírodovědec může vyslovit podezření, že mnozí, ne-li všichni představitelé novověké matematiky a přírodovědy mohli sice mluvit o nekonečnu, avšak v skrytu svého uvažování brali v úvahu ne nekonečně mnoho, ale velmi mnoho. Z této hypotézy může někomu vyplynout zdání, že přírodověda opravdu nemá s nekonečnem co činit, že nekonečno je jen metafora pro velké, těžko zvládnutelné konečné množství. A z tohoto zdání by mohlo vyplynout jiné zdání, že přírodovědec by se měl přiznat, že i Boha chápe jen jako cosi moc velkého, ale konečného, a že jeho myšlenky vážně zaměřené na opravdové nekonečno jsou ovlivněny tím zatracovaným absolutnem scholastiky. Tuto myšlenku lze ovšem rozvinout — a její důsledek odmítnout — právě na základě té exaktní Cantorovy definice nekonečna: připustíme-li totiž, že před Cantorem se pod slovem nekonečno skrývala metafora pro něco moc velkého, ale konečného, docházíme k závěru, že exaktní pojem nekonečna je od středověké scholastiky ještě o několik set let dále, než jak jsme výše uvažovali, tedy že je to pojem navýsost moderní.

Závěr

Jestliže jsem mnohokrát zdůrazňoval, že pojem nekonečna existuje v novověké přírodovědě nezávisle na té „středověké scholastice“, chtěl jsem tím jen zdůraznit legitimitu pojmu nekonečna v myšlení přírodovědců a vůbec jsem neměl na mysli považovat středověkou scholastiku za něco podřadného, zastaralého, svázaného, nevědeckého, existujícího ve svém vlastním historicky podmíněném omezeném světě. Dnes sice přetrvává móda něco takového tvrdit, kterou u nás (a nejen u nás) úporně živili marxisté, přitom se však návrat ke strukturám scholastického myšlení prosazuje stále více, a to právě tam, kde by se to nejméně čekalo, totiž v moderních partiích aplikovaných přírodních a technických věd. Snad jako výstižnou ilustraci lze uvést výklad toho, jak lze aristotelovskou klasifikaci příčin pozorovat na rozboru jednoduché diferenciální rovnice odpovídající např. rozpadu radioaktivního prvku nebo látkové výměny ve směsi tekutin. Příklad byl uveden ve stati s ryze fyzikálním názvem, zaměřené na ryze fyzikální problematiku a vytištěné ve sborníku vydaném Americkým institutem pro fyziku [5] (českým čtenářům jsem se pokusil tentýž příklad — spolu s dalšími ilustracemi „návratu scholastiky“ — přiblížit v [6]).

Návrat scholastiky je stimulován jednak reprezentací obecných znalostí na výpočetní technice, jednak studiem anticipujících systémů, které více nebo méně rozpoznávají svou možnou budoucnost a podle toho reagují v přítomnosti. Tyto systémy, které mají v lidské společnosti obrovský význam, v sobě většinou integrují jak fyzické složky chovající se podle přírodních zákonů, které nelze ignorovat, tak složky „inteligentní“, které ty „hloupé“ fyzické složky sofistikovaným způsobem řídí; je-li cílem ty inteligentní složky automatizovat (dnes stále více) a dojít k výsledkům v přijatelné době (tedy nikoliv za tisíc let úporné práce), je třeba převést na výpočetní techniku mnohé rysy myšlení lidí, mezi nimiž je i velké množství obecných znalostí jak o přírodě, tak o společnosti a o chování jednotlivce. Tyto znalosti doposud sloužily pro poznávání a pro komunikaci mezi lidmi, zatímco nyní se začínají uplatňovat i v komunikaci s automaty. Přitom se ukazuje, že v převádění (odborně řečeno reprezentaci) znalostí na ty automaty tak, aby na ně reagovaly, jsme dnes, po zhruba půlstoletí existence výpočetní techniky, na úrovni tak asi předsokratovských myslitelů, kteří se pracně dopracovávali k některým obecným vlastnostem lidského myšlení a komunikace, a my (tedy lidé dnešní doby) se dostáváme do podobných situací jako oni (včetně omylů, nedorozumění a vzájemných nevraživostí); zatímco jim šlo o komunikaci mezi lidmi, nyní jde o komunikaci jednak s automaty, které jsou schopny zapamatovat si a evidovat miliardy údajů a provádět s nimi v krátké době miliardy transakcí, a jednak — přes tyto automaty — i o komunikaci s jinými lidmi a společenstvími.

Pohled na dnešní stav „návratu scholastiky“ může — zvláště u historika filosofie — ještě vzbuzovat útrpné úsměvy a představy antického myslitele, který dumá nad tím, zda a proč někdy na jabloni nevyrostou kromě jablek třeba také pomeranče, ale uvědomíme-li si mimo jiné to, kam pokročily během půl století dnešní počítače s paměťovými médii, s internetem, s modely šíření meteorologických jevů a třeba s modely reakcí asijských národů na politické události, můžeme postupný návrat scholastiky, byť ne úplné, zatím primitivní a pro mnohé nestojící ani za řeč, těžko ignorovat. Neberme tento vývoj jako vize vzpoury robotů či zešílení internetu, nýbrž jako fakt, že výpočetní technika začíná zasahovat do života společnosti tak intenzivně jako kdysi knihtisk a pak výrobní či dopravní stroje, a jestliže už dnes ovlivňuje myšlení, pak je třeba přijmout to jako nutnost, i když to zavání návratem ke středověku. Reprezentanti katolické vědy, a to zvláště ti, kteří ve jménu pokroku vědy brojí proti uzavřenosti středověkého myšlení vůči podnětům od novověké přírodovědy, by měli být ostražití, aby, hlásajíce stejný pokrok, nezůstali uzavřeni v názorech na vědu, které snad mohli v polovině minulého století propagovat filosofové západoevropských studentských revolt, ale které už solidní přírodověda i technika úspěšně překonala.

[1] P. Gábor: Naléhavý úkol — K polemice E. Kindlera s G. V. Coynem. Universum 4/2006, str. 31—33

[2] J. Hájek: Ad článek G. V. Coyna Co věděl Bůh. Universum 1/2003, str. 30—32

[3] P. Vopěnka: Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Práh, Praha 2000

[4] P. Vopěnka: Podivuhodný květ českého baroka. Nakladatelství Karolinum, Praha 1998

[5] D. Dubois: Review of incursive, hyperincursive and anticipatory systems — foundation of anticipation in electromagnetism. In: Computing Anticipatory Systems (CASYS'99) — Third International Conference. The American Institute of Physics, AIP Proceedings 517, 2000, str. 3—30

[6] E. Kindler: Detaily scholastické filosofie z pohledu programování počítačů. In: K. Bendová a V. Švejdar (eds.): Miscellanea logica, Nakladatelství Karolinum, Praha 2002, tom. III, str. 51—61